№ 1. Рисунок 1 Вариант 1. Дано: LA = LB, CO = 4, DO=6, AO=5. C Найти: а) ОВ; б) АС: BD; в) SAOC: SBOD.

Рассмотрим задачу №1, Вариант 1.

a) Рассмотрим треугольники АОС и BOD. ∠A = ∠B (по условию), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники АОС и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{5}{OB} = \frac{4}{6} $$

Решим уравнение для OB:

$$ OB = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5 $$

б) Найдем отношение АС к BD:

$$ AC = AO + OC = 5 + 4 = 9 $$ $$ BD = BO + OD = 7.5 + 6 = 13.5 $$

Отношение AC : BD будет:

$$ \frac{AC}{BD} = \frac{9}{13.5} = \frac{90}{135} = \frac{2}{3} $$

в) Найдем отношение площадей треугольников SAOC : SBOD. Так как треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия.

Коэффициент подобия k:

$$ k = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} $$

Отношение площадей:

$$ \frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9} $$

Ответ: a) OB = 7.5; б) AC : BD = 2 : 3; в) SAOC : SBOD = 4 : 9