№ 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, A = 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь -треугольника АOD равна 45 см².

Рассмотрим задачу №4*.

Дано: ABCD - трапеция, AD и BC - основания, AO = 12 см, BC = 4 см, S(AOD) = 45 см².

Найти: S(BOC).

1. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. ∠DAO = ∠BCO и ∠ADO = ∠CBO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих AC и BD. Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (первый признак подобия).

2. Запишем отношение площадей подобных треугольников AOD и BOC:

$$ \frac{S(BOC)}{S(AOD)} = \left(\frac{BC}{AD}\right)^2 $$

3. Подставим известные значения: AD = 12 см, BC = 4 см, S(AOD) = 45 см².

$$ \frac{S(BOC)}{45} = \left(\frac{4}{12}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $$

4. Найдем площадь треугольника BOC:

$$ S(BOC) = \frac{45}{9} = 5 $$

Ответ: S(BOC) = 5 см²