№6. Дана серия из 4 испытаний Бернулли. Вероятность успеха р = 0,5 Перечислите все возможные значения числа успехов и их вероятности (P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4)).

Для серии из 4 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p = 0,5, перечислим все возможные значения числа успехов и их вероятности:

Вероятность k успехов в n испытаниях Бернулли вычисляется по формуле:

$$P(X = k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k)$$

Где:

• $$C_n^k$$ - число сочетаний из n по k
• $$p$$ - вероятность успеха в одном испытании
• $$n$$ - количество испытаний
• $$k$$ - количество успехов

В нашем случае n = 4 и p = 0,5. Рассчитаем вероятности для k = 0, 1, 2, 3, 4:

1. P(X = 0): $$P(X = 0) = C_4^0 * (0.5)^0 * (0.5)^4 = 1 * 1 * 0.0625 = 0.0625$$
2. P(X = 1): $$P(X = 1) = C_4^1 * (0.5)^1 * (0.5)^3 = 4 * 0.5 * 0.125 = 0.25$$
3. P(X = 2): $$P(X = 2) = C_4^2 * (0.5)^2 * (0.5)^2 = 6 * 0.25 * 0.25 = 0.375$$
4. P(X = 3): $$P(X = 3) = C_4^3 * (0.5)^3 * (0.5)^1 = 4 * 0.125 * 0.5 = 0.25$$
5. P(X = 4): $$P(X = 4) = C_4^4 * (0.5)^4 * (0.5)^0 = 1 * 0.0625 * 1 = 0.0625$$

Ответ: P(X=0) = 0.0625; P(X=1) = 0.25; P(X=2) = 0.375; P(X=3) = 0.25; P(X=4) = 0.0625