№5. В 4 испытаниях Бернулли с р = 0,5 известно, что количество успе хов не превысило двух. Какова вероятность, что успехов было ровно 1? (Округлите ответ до четырех знаков после запятой)

В 4 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p = 0,5 известно, что количество успехов не превысило двух. Нужно найти вероятность, что успехов было ровно 1.

Обозначим X - случайная величина, равная числу успехов.

Нам известно, что X ≤ 2. Нужно найти P(X = 1 | X ≤ 2).

По формуле условной вероятности:

$$P(X = 1 | X \le 2) = \frac{P(X = 1 \cap X \le 2)}{P(X \le 2)}$$

Так как событие X = 1 является подмножеством события X ≤ 2, то:

$$P(X = 1 \cap X \le 2) = P(X = 1)$$

Тогда:

$$P(X = 1 | X \le 2) = \frac{P(X = 1)}{P(X \le 2)}$$

Найдем P(X = 1):

$$P(X = 1) = C_4^1 * (0.5)^1 * (0.5)^3 = 4 * 0.5 * 0.125 = 0.25$$

Найдем P(X ≤ 2):

$$P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$$

Найдем P(X = 0):

$$P(X = 0) = C_4^0 * (0.5)^0 * (0.5)^4 = 1 * 1 * 0.0625 = 0.0625$$

Найдем P(X = 2):

$$P(X = 2) = C_4^2 * (0.5)^2 * (0.5)^2 = 6 * 0.25 * 0.25 = 0.375$$

Тогда:

$$P(X \le 2) = 0.0625 + 0.25 + 0.375 = 0.6875$$

Подставим значения:

$$P(X = 1 | X \le 2) = \frac{0.25}{0.6875} \approx 0.3636$$

Ответ: 0.3636