№9 Площадь прямоугольного треугольника равна 50√3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

Ответ: 20

Пусть площадь прямоугольного треугольника S = 50√3, и один из острых углов α = 30°. Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

где a и b - катеты. Обозначим гипотенузу как c. Тогда катеты можно выразить через гипотенузу и угол:

\[a = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2}\]\[b = c \cdot \cos(30^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим эти выражения в формулу площади:

\[S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]\[50\sqrt{3} = \frac{c^2 \sqrt{3}}{8}\]

Теперь найдем c²:

\[c^2 = \frac{50\sqrt{3} \cdot 8}{\sqrt{3}}\]\[c^2 = 50 \cdot 8\]\[c^2 = 400\]

Извлечем квадратный корень:

\[c = \sqrt{400}\]\[c = 20\]

Ответ: 20