№4. Точка $$P$$ удалена от всех сторон ромба на расстояние, равное $$\sqrt{5}$$, и находится от его плоскости на расстоянии, равном 2. Чему равна сторона ромба, если его угол $$30°$$?

Пусть сторона ромба равна $$a$$. Так как точка $$P$$ удалена от всех сторон ромба на расстояние $$\sqrt{5}$$, то проекция точки $$P$$ на плоскость ромба является центром вписанной окружности. Расстояние от точки $$P$$ до плоскости ромба равно 2. Радиус вписанной окружности ромба равен $$r = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5-4} = 1$$.

Площадь ромба равна $$S = a^2 \sin 30° = \frac{1}{2}a^2$$. С другой стороны, $$S = 2ar$$, где $$r$$ - радиус вписанной окружности. Тогда $$\frac{1}{2}a^2 = 2a$$, откуда $$a = 4$$.