№6. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна $$\sqrt{6}$$ см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $$60°$$. а) Найдите боковое ребро пирамиды. б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

a) Пусть $$H$$ - высота пирамиды, $$a$$ - сторона основания, $$l$$ - боковое ребро, $$\alpha$$ - угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Тогда $$H = \sqrt{6}$$, $$\alpha = 60°$$. Обозначим половину диагонали основания за $$x$$. Тогда $$\tan \alpha = \frac{H}{x}$$, откуда $$x = \frac{H}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$$. Диагональ основания равна $$2x = 2\sqrt{2}$$, а сторона основания $$a = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$$. Боковое ребро $$l = \sqrt{H^2 + (2x)^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{6+8} = \sqrt{14}$$.

б) Апофема боковой грани $$h = \sqrt{l^2 - (a/2)^2} = \sqrt{14 - 1} = \sqrt{13}$$. Площадь боковой поверхности $$S = 4 \cdot \frac{1}{2} a h = 2ah = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{13} = 4\sqrt{13}$$.