№25. В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13 : 12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если BC=10.

Решение:

• Пусть BH — высота, проведенная из вершины B, и AL — биссектриса угла A. Пусть K — точка пересечения BH и AL. По условию, BK : KH = 13 : 12.
• Обозначим BK = 13x, KH = 12x. Тогда BH = BK + KH = 13x + 12x = 25x.
• Рассмотрим треугольник ABH. AL — биссектриса угла BAH. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
• То есть, \(\frac{AB}{AH} = \frac{BK}{KH} = \frac{13}{12}\).
• Пусть AB = 13y, AH = 12y.
• Рассмотрим треугольник ABC. Пусть R — радиус описанной окружности. По теореме синусов, \(\frac{BC}{\sin A} = 2R\).
• Нам дано BC = 10. Нужно найти \(\sin A\).
• В треугольнике ABH, \(\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{25x}{13y}\).
• По теореме Пифагора для треугольника ABH: \[AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow (13y)^2 = (12y)^2 + (25x)^2\] \[169y^2 = 144y^2 + 625x^2 \Rightarrow 25y^2 = 625x^2 \Rightarrow y^2 = 25x^2 \Rightarrow y = 5x\]
• Теперь, \(\sin A = \frac{25x}{13 \cdot 5x} = \frac{5}{13}\).
• Подставим в теорему синусов: \(\frac{10}{\frac{5}{13}} = 2R \Rightarrow 10 \cdot \frac{13}{5} = 2R \Rightarrow 26 = 2R \Rightarrow R = 13\).

Ответ: 13