0.72 Определите степень многочлена (x²+x⁴ + x³ +x²+x+1)(x-1)-x² (x²+1)(x²-1) после преобразования его к стандартному виду.

Решение:

Упростим выражение:

1. Раскроем первую скобку: \( (x^4+x^3+2x^2+x+1)(x-1) \)
2. \( = x(x^4+x^3+2x^2+x+1) - 1(x^4+x^3+2x^2+x+1) \)
3. \( = (x^5+x^4+2x^3+x^2+x) - (x^4+x^3+2x^2+x+1) \)
4. \( = x^5 + x^4 + 2x^3 + x^2 + x - x^4 - x^3 - 2x^2 - x - 1 \)
5. \( = x^5 + (x^4-x^4) + (2x^3-x^3) + (x^2-2x^2) + (x-x) - 1 \)
6. \( = x^5 + x^3 - x^2 - 1 \)
7. Раскроем вторую часть: \( -x^2(x^2+1)(x^2-1) = -x^2(x^4-1) = -x^6+x^2 \)
8. Теперь сложим полученные выражения: \( (x^5 + x^3 - x^2 - 1) + (-x^6+x^2) \)
9. \( = x^5 + x^3 - x^2 - 1 - x^6 + x^2 \)
10. \( = -x^6 + x^5 + x^3 - 1 \)

Наибольшая степень в полученном многочлене равна 6.

Ответ: 6.