1.121. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}$; 2) $\frac{a}{\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}-b\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}+\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.121. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}$; 2)…$ Фото задания

1.121. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) $\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}$; 2) $\frac{a}{\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}-b\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}+\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}}$.

Accepted Answer

1) Белгілейік: $u=n+2$, $v=\sqrt{n^2-4}$. Сонда $u^2-v^2=(n+2)^2-(n^2-4)=4(n+2)$.

$\frac{u+v}{u-v}+\frac{u-v}{u+v}=\frac{(u+v)^2+(u-v)^2}{u^2-v^2}=\frac{2(u^2+v^2)}{u^2-v^2}$.

Ал $u^2+v^2=(n+2)^2+n^2-4=2n(n+2)$, сондықтан өрнек $\frac{4n(n+2)}{4(n+2)}=n$-ге тең.

2) Нақты мәндер болуы үшін түбірлердің анықталу шарттары орындалуы қажет. Бірінші бөлшек үшін $a\ne0$, ал түбірлер мен бөлімдерден $b\ne0$ және $a^2>b^2$.

$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|a|}$, ал $\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{|b|}$.

Сондықтан берілген өрнек $\frac{a|a|}{\sqrt{a^2-b^2}}-\frac{b}{|b|}\sqrt{a^2-b^2}+\frac{b|b|}{\sqrt{a^2-b^2}}$ болады. Шартта $a,b$ таңбалары көрсетілмегендіктен, бұдан таңбасыз бірмәнді өрнекке келтіру мүмкін емес. Егер есепте қосымша $a>0, b>0$ шарттары көзделсе, ықшамдалған нәтиже $\frac{a^2+b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}-\sqrt{a^2-b^2}=\frac{2b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}$.

1.121. Өрнекті ықшамдаңдар: 1) \(\frac{n+2+\sqrt{n^2-4}}{n+2-\sqrt{n^2-4}}+\frac{n+2-\sqrt{n^2-4}}{n+2+\sqrt{n^2-4}}\); 2) \(\frac{a}{\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}-b\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}+\frac{b}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}-1}}\).

Ответ: