1.125. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңдар: 1) $\frac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}$; 2) $\frac{\sqrt{3\sqrt2-2\sqrt3}}{\sqrt{2\sqrt3+3\sqrt2}}$; 3) $\frac{4}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}$; 4) $\frac{50}{3+\sqrt2-\sqrt{1+\sqrt2}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.125. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңдар: 1) $\frac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}$; 2)…$ Фото задания

1.125. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңдар: 1) $\frac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}$; 2) $\frac{\sqrt{3\sqrt2-2\sqrt3}}{\sqrt{2\sqrt3+3\sqrt2}}$; 3) $\frac{4}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}$; 4) $\frac{50}{3+\sqrt2-\sqrt{1+\sqrt2}}$.

Accepted Answer

1) Белгілейік: $A=\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}$. Бөлімді рационалдау үшін көбейтеміз: $\frac{y}{A}=\frac{yA}{A^2}=\frac{y\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}{x+\sqrt{x^2-y^2}}$. Сыртқы бөлімді $x-\sqrt{x^2-y^2}$-ке көбейткенде, $x^2-(x^2-y^2)=y^2$. Осыдан (анықталу облысында) нәтиже $\frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\left(x-\sqrt{x^2-y^2}\right)}{y}$.

2) Квадрат түбірлердің қатынасын бір түбірге біріктіреміз: $\sqrt{\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{2\sqrt3+3\sqrt2}}$. Жоғарғы және төменгі бөліктерді $2\sqrt3-3\sqrt2$-оор үржүүлэхэд хуваарь нь $(2\sqrt3)^2-(3\sqrt2)^2=-6$, тэгэхээр уг харьцааг рационал хэлбэрээр хялбарчилж болно. Бірақ бастапқы түбір астындағы алым теріс: $3\sqrt2<2\sqrt3$, себебі $18<12$ емес? Шын мәнінде $(3\sqrt2)^2=18$, $(2\sqrt3)^2=12$, демек $3\sqrt2>2\sqrt3$. Өрнек нақты анықталған. Алым мен бөлімді қатынас ретінде есептейміз: $\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{2\sqrt3+3\sqrt2}$. Көбейткіш $3\sqrt2-2\sqrt3$ бойынша бөлімнің мәні $18-12=6$. Нәтиже $\sqrt{\frac{(3\sqrt2-2\sqrt3)^2}{6}}=\frac{3\sqrt2-2\sqrt3}{\sqrt6}$. Бөлімді рационалдасақ: $\frac{3\sqrt{12}-2\sqrt{18}}{6}=\frac{6\sqrt3-6\sqrt2}{6}=\sqrt3-\sqrt2$.

3) $\sqrt{6+4\sqrt2}=\sqrt4+\sqrt2=2+\sqrt2$, себебі $(2+\sqrt2)^2=6+4\sqrt2$. Бөлім $2+2\sqrt2$. Сонда $\frac4{2+2\sqrt2}=\frac2{1+\sqrt2}=2(\sqrt2-1)$.

4) $\sqrt{1+\sqrt2}$ бар бөлімді ықшамдаудың нәтижесін рационалдау арқылы табамыз. Белгілейік $t=\sqrt{1+\sqrt2}$. Онда бөлім $3+\sqrt2-t$. Көбейтіп, радикалды жоюға ыңғайлы көбейткіш $3+\sqrt2+t$: көбейтінді $(3+\sqrt2)^2-t^2=10+6\sqrt2-(1+\sqrt2)=9+5\sqrt2$. Ал $50/(9+5\sqrt2)$-г $9-5\sqrt2$-оор үржүүлэхэд хуваарь $81-50=31$ болно.

Сондықтан $\frac{50}{3+\sqrt2-\sqrt{1+\sqrt2}}=\frac{50(3+\sqrt2+\sqrt{1+\sqrt2})(9-5\sqrt2)}{31}$.

Жауабы: 1) $\frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}(x-\sqrt{x^2-y^2})}{y}$; 2) $\sqrt3-\sqrt2$; 3) $2(\sqrt2-1)$; 4) $\frac{50(3+\sqrt2+\sqrt{1+\sqrt2})(9-5\sqrt2)}{31}$.

1.125. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңдар: 1) \(\frac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}\); 2) \(\frac{\sqrt{3\sqrt2-2\sqrt3}}{\sqrt{2\sqrt3+3\sqrt2}}\); 3) \(\frac{4}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}\); 4) \(\frac{50}{3+\sqrt2-\sqrt{1+\sqrt2}}\).

Ответ: