1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: $\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$, $a>0,\ a^2>b>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: \(\sqrt{a\pm\sqrt…$ Фото задания

1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: $\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$, $a>0,\ a^2>b>0$.

Accepted Answer

Белгілейік: $u=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}$, $v=\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$. Шарттардан $u,v$ нақты әрі оң.

$(u\pm v)^2=u^2+v^2\pm2uv$. Мұнда $u^2+v^2=a$, ал $2uv=2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}4}=\sqrt b$.

Олай болса, $(u\pm v)^2=a\pm\sqrt b$. Оң жақтағы өрнектер теріс емес, ал $u+v>0$ және $u-v>0$, себебі $u^2-v^2=\sqrt{a^2-b}>0$. Демек, оң квадрат түбірлерді алып, берілген екі теңдікті аламыз.

1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: \(\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}2}\), \(a>0,\ a^2>b>0\).

Ответ: