1.125. Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңдар: 1) \(\dfrac{y}{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}\); 2) \(\dfrac{\sqrt{3\sqrt2-2\sqrt3}}{\sqrt{2\sqrt3+3\sqrt2}}\); 3) \(\dfrac{4}{\sqrt2+\sqrt{6+4\sqrt2}}\); 4) \(\dfrac{50}{3+\sqrt2-\sqrt{1+\sqrt2}}\).

1) Бөлімдегі түбірді жою үшін алым мен бөлімді \(\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\)-ке көбейтеміз:

\(\displaystyle \frac{y\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}}{x+\sqrt{x^2-y^2}}\).

Алым мен бөлімді ішкі қосындының түйіндесіне көбейтсек, бөлім \(x^2-(x^2-y^2)=y^2\) болады. Нәтиже: \(\displaystyle \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\,(x-\sqrt{x^2-y^2})}{y}\) (мұнда бастапқы өрнектің анықталу шарттары орындалады).

2) Өрнектегі \(3\sqrt2-2\sqrt3\) теріс, өйткені \((3\sqrt2)^2=18<12\)? Бұл салыстыру дұрыс емес; нақтысында \(18>12\), сондықтан алым түбірі анықталған. Алайда бөлшекті толық ықшамдау үшін алым-бөлімді бөлім түбіріне көбейтеміз: \(\displaystyle \frac{\sqrt{(3\sqrt2-2\sqrt3)(2\sqrt3+3\sqrt2)}}{2\sqrt3+3\sqrt2}\). Көбейтінді түйіндес көбейткіштер формуласы бойынша \((3\sqrt2)^2-(2\sqrt3)^2=6\). Демек, нәтиже: \(\displaystyle \frac{\sqrt6}{2\sqrt3+3\sqrt2}\).

Оны иррационалдықтан толық арылту үшін бөлімнің түйіндесіне көбейтеміз: \(\displaystyle \frac{\sqrt6(3\sqrt2-2\sqrt3)}{18-12}=\frac{3\sqrt{12}-2\sqrt{18}}6=\sqrt3-\sqrt2\).

3) \(\sqrt{6+4\sqrt2}=2+\sqrt2\), өйткені \((2+\sqrt2)^2=6+4\sqrt2\). Сондықтан бөлім \(2+2\sqrt2\). Түйіндесіне көбейтеміз:

\(\displaystyle \frac4{2+2\sqrt2}=\frac{2}{1+\sqrt2}=2(\sqrt2-1)\).

4) Белгілейік: \(r=\sqrt{1+\sqrt2}\). Бөлім \(3+\sqrt2-r\). Оның түйіндесіне көбейткенде \((3+\sqrt2)^2-r^2=10+5\sqrt2\) шығады. Сондықтан

\(\displaystyle \frac{50}{3+\sqrt2-r}=\frac{50(3+\sqrt2+r)}{10+5\sqrt2}=\frac{10(3+\sqrt2+r)}{2+\sqrt2}=5\sqrt2(3+\sqrt2+r)\).

Жауабы: 1) \(\displaystyle \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}(x-\sqrt{x^2-y^2})}{y}\); 2) \(\sqrt3-\sqrt2\); 3) \(2(\sqrt2-1)\); 4) \(5\sqrt2(3+\sqrt2+\sqrt{1+\sqrt2})\).