1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: $\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$, $a>0,\ a^2>b>0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: \(\sqrt{a\pm\sqrt…$ Фото задания

Accepted Answer

Белгілейік: $u=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}2}$, $v=\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}2}$. Екеуі де нақты және теріс емес.

$u^2+v^2=a$, ал $2uv=\sqrt{(a+\sqrt{a^2-b})(a-\sqrt{a^2-b})}=\sqrt b$.

Сонда $(u+v)^2=a+\sqrt b$, демек $u+v=\sqrt{a+\sqrt b}$. Сондай-ақ $(u-v)^2=a-\sqrt b$. $u\ge v$, сондықтан $u-v=\sqrt{a-\sqrt b}$.

Дәлелденді.

1.126. «Күрделі радикал формулаларын» дәлелдеңдер: \(\sqrt{a\pm\sqrt b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}2}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}2}\), \(a>0,\ a^2>b>0\).