1.30. Замените * такой степенью с основанием а, чтобы верным было равенство: a) a^16 : * = a; б) a^7 : * = a^5; в) a^10 : * = a^3; г) * : a^18 = a.

Решение:

Для решения используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: a^m : aⁿ = a^m-n.

• а) \(a^{16} : a^x = a^1 \implies 16 - x = 1 \implies x = 15\). Значит, \(* = a^{15}\).
• б) \(a^7 : a^x = a^5 \implies 7 - x = 5 \implies x = 2\). Значит, \(* = a^2\).
• в) \(a^{10} : a^x = a^3 \implies 10 - x = 3 \implies x = 7\). Значит, \(* = a^7\).
• г) \(a^x : a^{18} = a^1 \implies x - 18 = 1 \implies x = 19\). Значит, \(* = a^{19}\).

Ответ: а) a¹⁵; б) a²; в) a⁷; г) a¹⁹.