1.35. Вычислите, используя свойства степени: a) 2^14 / (32 * 64); б) (125 * 625) / 5^5; в) (27 * 36) / (16 * 27); г) (10^9 * 5^7) / (625 * 1000).

Решение:

Для решения представим все числа в виде степеней с одинаковым основанием, а затем применим свойства степеней:

• • Умножение степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  • Деление степеней: \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
  • Возведение степени в степень: \((a^m)^n = a^{m }\)
• а) \(\frac{2^{14}}{32 \cdot 64} = \frac{2^{14}}{2^5 \cdot 2^6} = \frac{2^{14}}{2^{5+6}} = \frac{2^{14}}{2^{11}} = 2^{14-11} = 2^3 = 8\)
• б) \(\frac{125 \cdot 625}{5^5} = \frac{5^3 \cdot 5^4}{5^5} = \frac{5^{3+4}}{5^5} = \frac{5^7}{5^5} = 5^{7-5} = 5^2 = 25\)
• в) \(\frac{27 \cdot 36}{16 \cdot 27} = \frac{3^3 \cdot 6^2}{2^4 \cdot 3^3} = \frac{6^2}{2^4} = \frac{(2 \cdot 3)^2}{2^4} = \frac{2^2 \cdot 3^2}{2^4} = \frac{3^2}{2^{4-2}} = \frac{9}{2^2} = \frac{9}{4}\)
• г) \(\frac{10^9 \cdot 5^7}{625 \cdot 1000} = \frac{(2 \cdot 5)^9 \cdot 5^7}{5^4 \cdot 10^3} = \frac{2^9 \cdot 5^9 \cdot 5^7}{5^4 \cdot (2 \cdot 5)^3} = \frac{2^9 \cdot 5^{9+7}}{5^4 \cdot 2^3 \cdot 5^3} = \frac{2^9 \cdot 5^{16}}{2^3 \cdot 5^{4+3}} = \frac{2^9 \cdot 5^{16}}{2^3 \cdot 5^7} = 2^{9-3} \cdot 5^{16-7} = 2^6 \cdot 5^9\).

Ответ: а) 8; б) 25; в) 9/4; г) 2⁶ ⋅ 5⁹.