1.9. На линейке отмечены три деления: 0, 7 и 11. Как отложить с её помощью отрезок длиной: а) 8; б) 5?

Между делениями 7 и 11 расстояние равно 4, а между 0 и 7 — 7. Совмещая начало каждого следующего отрезка с концом предыдущего и откладывая в одном направлении, получаем:

а) 8 = 4 + 4: два раза отложить расстояние между делениями 7 и 11.

б) 5 = 7 − 2; однако длину 2 этими делениями непосредственно получить нельзя. Но 5 = 11 − 7 + 4, то есть 4 + 4 − 7 = 1, что также не даёт 5. Точно: 5 = 11 − 7 + 7 − 6, но единицу измерить невозможно данным способом.

Используя только линейку с делениями 0, 7 и 11 и без единичного отрезка, длину 5 получить нельзя: доступные основные интервалы равны 4 и 7, и их целочисленные суммы и разности дают только чётность, совпадающую с чётностью 4 и 7 в зависимости от числа слагаемых. Возможность построения 5 потребовала бы решения 4m + 7n = 5 в целых m,n; такого решения нет, поскольку остатки по модулю 4 дают 3n ≡ 1, то есть n ≡ 3, после чего m нецелое.

Ответ: а) дважды отложить расстояние между делениями 7 и 11; б) отрезок длиной 5 такими делениями отложить нельзя.