1. Человек массы m₁, оставаясь на месте, тянет за верёвку груз массы m₂. Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен μ. При какой наименьшей силе натяжения верёвки груз тронется с места? Под каким углом к горизонтальной плоскости должна быть направлена верёвка?

Пусть верёвка направлена вверх под углом \(\alpha\). Для начала движения груза горизонтальная составляющая натяжения должна равняться предельной силе трения:

\(T\cos\alpha=\mu(m_2g-T\sin\alpha)\).

Отсюда \(T=\dfrac{\mu m_2g}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}\). Знаменатель максимален, когда \(\tan\alpha=\mu\). Тогда натяжение минимально.

Ответ: \(T_{\min}=\dfrac{\mu m_2g}{\sqrt{1+\mu^2}}\), при \(\alpha=\arctan\mu\).