5. Мальчик, стоя на льду, пытается сдвинуть ящик за привязанную к нему верёвку. Масса ящика 100 кг, масса мальчика 50 кг. Коэффициент трения ящика о лёд 0,3, а мальчика 0,4. Под каким минимальным углом к горизонту мальчик должен тянуть верёвку, чтобы сдвинуть ящик?

Обозначим угол верёвки к горизонту через \(\theta\), а натяжение через T. Для начала движения ящика требуется \(T\cos\theta=0.3\cdot100g\).

Горизонтальная сила на мальчика равна \(T\cos\theta\). Вертикальная составляющая натяжения уменьшает его нормальную реакцию, поэтому условие, что мальчик не скользит: \(T\cos\theta\leq0.4(50g-T\sin\theta)\).

На границе срыва подставляем \(T=30g/\cos\theta\): получаем \(30\leq20-12\tan\theta\). Это неравенство невозможно при положительном угле. Следовательно, при данных массах и коэффициентах мальчик не может сдвинуть ящик, оставаясь на месте: его доступная сила трения меньше требуемой горизонтальной силы.

Ответ: такого угла нет; мальчик начнёт скользить раньше, чем сдвинет ящик.