1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, ВК=4, DK=12, BC=21. Найдите AD.

Решение:

По теореме о пересекающихся секущих (для точек К, А, В и К, D, С) имеем: \( AK \cdot KB = DK \cdot KC \).

Мы знаем \( BK = 4 \), \( DK = 12 \), \( BC = 21 \). Пусть \( AD = x \).

По условию, AB и CD пересекаются в точке K. Рассмотрим треугольники \( \triangle KAD \) и \( \triangle KCB \).

Угол \( \angle AKD = \angle KCB \) как вертикальные.

Угол \( \angle KAD = \angle KCB \) как вписанные, опирающиеся на одну дугу BD.

Таким образом, \( \triangle KAD \sim \triangle KCB \) по двум углам.

Из подобия следует отношение сторон: \( \frac{AK}{KC} = \frac{DK}{BK} = \frac{AD}{CB} \).

Подставим известные значения:

\( \frac{DK}{BK} = \frac{12}{4} = 3 \)

\( \frac{AD}{CB} = \frac{x}{21} \)

Приравнивая отношения, получаем: \( 3 = \frac{x}{21} \).

Отсюда \( x = 3 \cdot 21 = 63 \).

Ответ: 63.