10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены три точки: А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.

Решение:

Расстояние от точки А до прямой ВС — это длина перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую ВС.

Сначала найдём координаты точек:

• A: (2, 2)
• B: (6, 5)
• C: (8, 2)

Уравнение прямой BC. Найдем сначала угловой коэффициент \( k_{BC} \):

\( k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2 - 5}{8 - 6} = \frac{-3}{2} \).

Уравнение прямой BC в виде \( y - y_B = k_{BC}(x - x_B) \):

\( y - 5 = -\frac{3}{2}(x - 6) \)

\( 2(y - 5) = -3(x - 6) \)

\( 2y - 10 = -3x + 18 \)

\( 3x + 2y - 28 = 0 \).

Теперь найдём расстояние от точки A(2, 2) до прямой BC (3x + 2y - 28 = 0) по формуле:

\( h = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)

Где \( A=3, B=2, C=-28 \) и \( x_0=2, y_0=2 \).

\( h = \frac{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 28|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 4 - 28|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|10 - 28|}{\sqrt{13}} = \frac{|-18|}{\sqrt{13}} = \frac{18}{\sqrt{13}} \).

Можно также умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{13} \):

\( h = \frac{18\sqrt{13}}{13} \).

Ответ: \(\frac{18}{\sqrt{13}}\).