1. Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин. Что можно сказать в случае 10-угольника?

Ось симметрии переводит вершины многоугольника в вершины. При этом вершина, лежащая на оси симметрии, переходит сама в себя, а остальные вершины разбиваются на пары симметричных вершин.

Если бы ось не проходила ни через одну вершину, все 101 вершины разбились бы на пары. Но нечётное число вершин нельзя разбить на пары. Следовательно, ось симметрии проходит хотя бы через одну вершину.

Для выпуклого многоугольника ось симметрии не может проходить ровно через одну вершину: остальные вершины также должны разбиваться на пары, поэтому при нечётном числе вершин ось проходит через одну вершину, а противоположная ей сторона расположена симметрично относительно оси.

У 10-угольника число вершин чётное. Поэтому возможны два случая: ось проходит через две противоположные вершины или через середины двух противоположных сторон. Следовательно, в случае 10-угольника ось не обязана проходить через вершину.

Ответ: у 101-угольника ось обязательно проходит через вершину; у 10-угольника она может проходить через две вершины или через середины двух противоположных сторон.