7. К 13-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

Пусть исходное число имеет цифры \(a_1a_2\ldots a_{13}\), а результат сложения — цифры \(b_1b_2\ldots b_{14}\), если возник перенос в новый разряд.

При сложении числа с записанным в обратном порядке цифры, стоящие симметрично относительно середины, складываются одинаково. Поэтому переносы при сложении на симметричных разрядах также возникают попарно, за исключением центрального разряда.

Если бы все цифры результата были нечётными, то при движении справа налево чётность цифр в симметричных разрядах заставляла бы переносы на двух симметричных позициях отличаться. Но переносы там возникают одновременно, поскольку складываются одни и те же пары цифр. Это противоречие; в центральном разряде возможен только один непарный перенос, который также даёт чётную цифру на одном из разрядов.

Следовательно, среди цифр суммы обязательно есть хотя бы одна чётная.

Ответ: хотя бы одна цифра суммы чётна.