3. Хулиганы Вася и Петя порвали стенгазету, причём Петя рвал каждый кусок на 5 частей, а Вася — на 9. При попытке собрать стенгазету нашли 1000 обрывков. Докажите, что нашли не все кусочки.

Изначально был один кусок. Если разорвать один кусок на 5 частей, общее число частей увеличивается на 4. Если разорвать кусок на 9 частей, число частей увеличивается на 8.

Поэтому общее число кусочков должно иметь вид \(1+4a+8b\), то есть быть нечётным по модулю 4: оно сравнимо с 1 по модулю 4.

Но \(1000\equiv 0\pmod 4\). Следовательно, 1000 обрывков не могут быть всеми кусочками стенгазеты.

Ответ: нашли не все кусочки.