1. Дан треугольник MNP. NM = 4√2, MP = 2, угол M равен 45°. Найдите сторону PN.

По теореме косинусов:

\(PN^2=NM^2+MP^2-2\cdot NM\cdot MP\cdot\cos M\).

\(PN^2=(4\sqrt2)^2+2^2-2\cdot4\sqrt2\cdot2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=32+4-16=20\).

Так как длина положительна, \(PN=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

Ответ: \(2\sqrt5\).