№1. Докажите, что если в треугольнике площади S одну сторону увеличить в n раз, а другую — в m раз, то площадь нового треугольника будет равна n·m·S.

Обозначим стороны, угол между которыми не меняется, через \(a\) и \(b\), а этот угол — через \(\gamma\). Тогда площадь исходного треугольника равна \(S=\frac12 ab\sin\gamma\).

После увеличения сторон в \(n\) и \(m\) раз площадь нового треугольника:

\(S_1=\frac12(na)(mb)\sin\gamma=nm\cdot\frac12ab\sin\gamma=nmS.\)

Значит, при сохранении угла между увеличиваемыми сторонами площадь увеличится в \(nm\) раз. Без этого условия утверждение в общем случае неверно: при изменении угла меняется и его синус.