1) \(\frac{2\cos x}{\sin 3x + \sin x} = \frac{11}{6} - \frac{1}{2} \sin 2x\)

Решение:

1. Левая часть: \( \frac{2\cos x}{\sin 3x + \sin x} \)
• Используем формулу суммы синусов: \( \sin A + \sin B = 2 · \sin \frac{A+B}{2} · \cos \frac{A-B}{2} \).
• \( \sin 3x + \sin x = 2 · \sin \frac{3x+x}{2} · \cos \frac{3x-x}{2} = 2 · \sin 2x · \cos x \).
• Подставляем в дробь: \( \frac{2\cos x}{2 · \sin 2x · \cos x} \).
• Сокращаем \( 2\cos x \) (при условии \( \cos x \neq 0 \)): \( \frac{1}{\sin 2x} \).
2. Правая часть: \( \frac{11}{6} - \frac{1}{2} \sin 2x \)
3. Приравниваем обе части: \( \frac{1}{\sin 2x} = \frac{11}{6} - \frac{1}{2} \sin 2x \).
4. Пусть \( y = \sin 2x \). Тогда уравнение примет вид: \( \frac{1}{y} = \frac{11}{6} - \frac{1}{2} y \).
5. Умножим обе части на \( 6y \) (при условии \( y \neq 0 \)): \( 6 = 11y - 3y^2 \).
6. Приведём к квадратному уравнению: \( 3y^2 - 11y + 6 = 0 \).
7. Найдём дискриминант: \( D = (-11)^2 - 4 · 3 · 6 = 121 - 72 = 49 \).
8. Найдём корни: \( y_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2 · 3} = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3 \) и \( y_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2 · 3} = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
9. Так как \( y = \sin 2x \), значение \( y \) не может быть больше \(1\) или меньше \(-1\). Поэтому \( y_1 = 3 \) — посторонний корень.
10. Остаётся \( \sin 2x = \frac{2}{3} \).
11. Проверка условий: \( \cos x \neq 0 \) и \( \sin 2x \neq 0 \). \( \sin 2x = 2 \), что не равно \(0\). Также, если \( \sin 2x = 2/3 \), то \( 2x \) не равно \( \frac{\pi}{2} + \pi k \), значит \( x \) не равно \( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \). Если \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \), то \( \cos x = 0 \) или \( \cos x \neq 0 \) в зависимости от \(k\). Но \( \sin 2x = \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) \) может быть \(1\) или \(-1\), что не равно \(2/3\). Следовательно, \( \cos x \neq 0 \) при \( \sin 2x = 2/3 \).

Ответ: \( \sin 2x = \frac{2}{3} \)