2) Доказать что: 3^{log_5 25} = 5^{log_5 3}

Решение:

1. Левая часть: \( 3^{\log_5 25} \)
• Сначала вычислим \( \log_5 25 \). Это степень, в которую нужно возвести \(5\), чтобы получить \(25\). \(5^2 = 25\), значит \( \log_5 25 = 2 \).
• Теперь подставим это значение обратно: \( 3^2 = 9 \).
2. Правая часть: \( 5^{\log_5 3} \)
• По основному логарифмическому тождеству, \( a^{\log_a b} = b \).
• Применяя это тождество, получаем: \( 5^{\log_5 3} = 3 \).
3. Сравнение: Левая часть равна \(9\), а правая часть равна \(3\).

Вывод: Равенство \( 3^{\log_5 25} = 5^{\log_5 3} \) неверно, так как \(9 \neq 3\).