5) (1 + cos x) ctg x = 2 sin x

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя определения: \( \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x} \).
2. \( \left( 1 + \cos x \right) · \frac{\cos x}{\sin x} = 2 · \sin x \).
3. Умножим обе части на \( \sin x \) (при условии \( \sin x \neq 0 \)):
4. \( \left( 1 + \cos x \right) · \cos x = 2 · \sin^2 x \).
5. Раскроем скобки: \( \cos x + \cos^2 x = 2 · \sin^2 x \).
6. Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):
7. \( \cos x + \cos^2 x = 2 · (1 - \cos^2 x) \).
8. \( \cos x + \cos^2 x = 2 - 2 · \cos^2 x \).
9. Перенесём все члены в одну сторону: \( \cos x + \cos^2 x - 2 + 2 · \cos^2 x = 0 \).
10. \( 3 · \cos^2 x + \cos x - 2 = 0 \).
11. Пусть \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет вид: \( 3y^2 + y - 2 = 0 \).
12. Найдём дискриминант: \( D = 1^2 - 4 · 3 · (-2) = 1 + 24 = 25 \).
13. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 · 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \).
14. \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 · 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \).
15. Теперь решим два уравнения для \( x \):
• Случай 1: \( \cos x = \frac{2}{3} \).
• \( x = \pm \arccos ³ \left( \frac{2}{3} \right) + 2 · \pi k \), где \( k \) — целое число.
• Случай 2: \( \cos x = -1 \).
• \( x = \pi + 2 · \pi m \) \(⇒\) \( x = \pi (2m+1) \), где \( m \) — целое число.
• Проверка условия \( \sin x \neq 0 \):
• Если \( \cos x = \frac{2}{3} \), то \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \). \( \sin x = ± \frac{\sqrt{5}}{3} \neq 0 \).
• Если \( \cos x = -1 \), то \( x = π + 2 π m \). В этом случае \( \sin x = \sin(π + 2 π m) = 0 \). Это значение не подходит, так как оно приводит к делению на ноль в исходном уравнении.

Ответ: \( x = ± \arccos ³ \left( \frac{2}{3} \right) + 2 · \pi k \), где \( k \) — целое число.