2) \(\sin 2x = \frac{3}{7} (\sin 3x - \sin x)\)

Решение:

1. Правая часть: \( \frac{3}{7} (\sin 3x - \sin x) \)
• Используем формулу разности синусов: \( \sin A - \sin B = 2 · \cos \frac{A+B}{2} · \sin \frac{A-B}{2} \).
• \( \sin 3x - \sin x = 2 · \cos \frac{3x+x}{2} · \sin \frac{3x-x}{2} = 2 · \cos 2x · \sin x \).
• Подставляем в правую часть: \( \frac{3}{7} · 2 · \cos 2x · \sin x = \frac{6}{7} \cos 2x · \sin x \).
2. Исходное уравнение: \( \sin 2x = \frac{6}{7} \cos 2x · \sin x \).
3. Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 · \sin x · \cos x \).
4. Подставляем: \( 2 · \sin x · \cos x = \frac{6}{7} \cos 2x · \sin x \).
5. Перенесём всё в одну сторону: \( 2 · \sin x · \cos x - \frac{6}{7} \cos 2x · \sin x = 0 \).
6. Вынесем общий множитель \( 2 · \sin x \): \( 2 · \sin x \( \cos x - \frac{3}{7} \cos 2x \) = 0 \).
7. Это даёт два случая:
• Случай 1: \( \sin x = 0 \).
• Тогда \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.
• Случай 2: \( \cos x - \frac{3}{7} \cos 2x = 0 \).
• Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2 · \cos^2 x - 1 \).
• \( \cos x - \frac{3}{7} (2 · \cos^2 x - 1) = 0 \).
• \( \cos x - \frac{6}{7} \cos^2 x + \frac{3}{7} = 0 \).
• Умножим на \( 7 \): \( 7\cos x - 6 \cos^2 x + 3 = 0 \).
• Пусть \( z = \cos x \). Тогда \( -6z^2 + 7z + 3 = 0 \) или \( 6z^2 - 7z - 3 = 0 \).
• Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 · 6 · (-3) = 49 + 72 = 121 \).
• Найдём корни: \( z_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2 · 6} = \frac{7 + 11}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \).
• \( z_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 · 6} = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \).
• Так как \( z = \cos x \), значение \( z \) не может быть больше \(1\) или меньше \(-1\). Поэтому \( z_1 = \frac{3}{2} \) — посторонний корень.
• Остаётся \( \cos x = -\frac{1}{3} \).
• Тогда \( x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 · \pi k \), где \( k \) — целое число.

Ответ: \( x = \pi k \) или \( x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 · \pi k \), где \( k \) — целое число.