3) \(\cos 4x + \cos 2x = \cos 12x + \cos 10x\)

Решение:

1. Перегруппируем члены: \( \cos 4x - \cos 10x = \cos 12x - \cos 2x \).
2. Применим формулу разности косинусов: \( \cos A - \cos B = -2 · \sin \frac{A+B}{2} · \sin \frac{A-B}{2} \).
3. Левая часть: \( \cos 4x - \cos 10x = -2 · \sin \frac{4x+10x}{2} · \sin \frac{4x-10x}{2} = -2 · \sin 7x · \sin (-3x) = 2 · \sin 7x · \sin 3x \) (так как \( \sin(-\alpha) = -\sin ³ \alpha \)).
4. Правая часть: \( \cos 12x - \cos 2x = -2 · \sin \frac{12x+2x}{2} · \sin \frac{12x-2x}{2} = -2 · \sin 7x · \sin 5x \).
5. Приравняем полученные выражения: \( 2 · \sin 7x · \sin 3x = -2 · \sin 7x · \sin 5x \).
6. Перенесём всё в одну сторону: \( 2 · \sin 7x · \sin 3x + 2 · \sin 7x · \sin 5x = 0 \).
7. Вынесем общий множитель \( 2 · \sin 7x \): \( 2 · \sin 7x (\sin 3x + \sin 5x) = 0 \).
8. Это даёт два случая:
• Случай 1: \( \sin 7x = 0 \).
• Тогда \( 7x = \pi k \), откуда \( x = \frac{\pi k}{7} \), где \( k \) — целое число.
• Случай 2: \( \sin 3x + \sin 5x = 0 \).
• Применим формулу суммы синусов: \( \sin A + \sin B = 2 · \sin \frac{A+B}{2} · \cos \frac{A-B}{2} \).
• \( 2 · \sin \frac{3x+5x}{2} · \cos \frac{3x-5x}{2} = 0 \).
• \( 2 · \sin 4x · \cos (-x) = 0 \).
• Так как \( \cos (-x) = \cos x \), получаем \( 2 · \sin 4x · \cos x = 0 \).
• Это даёт два подслучая:
• \( \sin 4x = 0 \) \(⇒\) \( 4x = \pi n \) \(⇒\) \( x = \frac{\pi n}{4} \), где \( n \) — целое число.
• \( \cos x = 0 \) \(⇒\) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \) \(⇒\) \( x = \frac{\pi(2m+1)}{2} \), где \( m \) — целое число.

Ответ: \( x = \frac{\pi k}{7} \), \( x = \frac{\pi n}{4} \), \( x = \frac{\pi (2m+1)}{2} \), где \( k, n, m \) — целые числа.