4) \(\frac{\lg 2 + 2\lg 3}{\lg 27 + \lg 12}\)

Решение:

1. Числитель: \( \lg 2 + 2\lg 3 \)
• Используем свойство \( n · \log_a x = \log_a x^n \): \( 2\lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9 \).
• Сумма логарифмов: \( \lg 2 + \lg 9 \).
• Используем свойство \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x · y) \): \( \lg (2 · 9) = \lg 18 \).
2. Знаменатель: \( \lg 27 + \lg 12 \)
• Сумма логарифмов: \( \lg (27 · 12) \).
• Выполняем умножение: \( 27 · 12 = 324 \).
• Получаем: \( \lg 324 \).
3. Дробь: \( \frac{\lg 18}{\lg 324} \).
• Заметим, что \( 324 = 18^2 \).
• Используем свойство \( \log_a x^n = n \u00B7 \log_a x \) для числителя (применяя его к знаменателю, чтобы привести к одинаковым логарифмам): \( \lg 324 = \lg 18^2 = 2 \u00B7 \lg 18 \).
• Дробь теперь выглядит так: \( \frac{\lg 18}{2 \u00B7 \lg 18} \).
• Сокращаем \( \lg 18 \): \( \frac{1}{2} \).

Ответ: \(\frac{1}{2}\)