1. На доске выписаны все целые числа от 1 до n. Сеня посчитал, сколько всего цифр выписано. Оказалось, что это число записывается теми же цифрами, что и n, но в обратном порядке. Найдите n, если известно, что оно а) двузначно; б) трёхзначно.

а) Если n двузначное, общее число выписанных цифр равно 9 + 2(n − 9) = 2n − 9. Пусть n = 10a + b, где a — цифра десятков, b — цифра единиц. Тогда число цифр равно перевёрнутому числу 10b + a:

2(10a + b) − 9 = 10b + a, откуда 19a − 8b = 9.

При a = 3 получаем b = 6; это единственное подходящее решение с цифрами от 0 до 9. Проверка: до 36 выписано 9 + 27 · 2 = 63 цифры, а 63 — запись числа 36 в обратном порядке.

б) Если n трёхзначное, число цифр равно 9 + 90 · 2 + 3(n − 99) = 3n − 108. Пусть n = 100a + 10b + c. Тогда:

3n − 108 = 100c + 10b + a, то есть 299a + 20b − 97c = 108.

Проверка цифр a от 1 до 9 и b, c от 0 до 9 даёт a = 1, b = 5, c = 3. Действительно, для n = 153 число цифр равно 9 + 90 · 2 + 54 · 3 = 351, а это число 153 в обратном порядке.

Ответ: а) 36; б) 153.