8. Квадратный торт массой 900 г разрезали двумя прямолинейными разрезами, параллельными одной паре сторон, и двумя прямолинейными разрезами, параллельными другой паре сторон. Докажите, что Паша сможет выбрать из девяти получившихся кусков три, не имеющие общих сторон, суммарная масса которых не меньше 300 г.

Два разреза каждого направления разбивают торт на сетку 3 × 3. Раскрасим куски в шахматном порядке, так что клетки одного цвета не имеют общих сторон. В сетке 3 × 3 клеток одного цвета пять, другого — четыре.

Суммарная масса всех девяти кусков равна 900 г, поэтому хотя бы один из двух цветов имеет суммарную массу не меньше 450 г. Среди его клеток есть четыре угловых и центральная; угловые клетки попарно не имеют общих сторон между собой. Если суммарная масса угловых кусков не меньше 300 г, Паша выбирает их. Если меньше 300 г, то вместе с центральным куском масса пяти клеток цвета достигает не менее 450 г, но это ещё не гарантирует нужного набора из трёх.

Нужное заключение получается иначе: рассмотрим три непересекающихся по сторонам набора по три клетки — каждый из трёх столбцов (или строк) через одну клетку. Сумма масс этих трёх наборов равна 900 г, поэтому один набор имеет массу не меньше 300 г; внутри каждого набора выбранные клетки не имеют общих сторон.

Ответ: среди трёх таких наборов найдётся набор массой не менее 300 г.