1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• Точки А, В, С на бумаге в клетку 1х1.
• Найти: Сумма углов ∠ABC + ∠CAB.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем координаты точек. Пусть точка пересечения линий сетки будет началом координат (0,0). Тогда: А=(0,2), В=(2,0), С=(1,1).
2. Шаг 2: Находим длины сторон треугольника.
• AB = √((2-0)² + (0-2)²) = √(4+4) = √8 = 2√2.
• BC = √((1-2)² + (1-0)²) = √(1+1) = √2.
• AC = √((1-0)² + (1-2)²) = √(1+1) = √2.
3. Шаг 3: Определяем углы.
• Треугольник ABC является равнобедренным, так как AC = BC.
• Применяем теорему косинусов для нахождения углов.
• Для угла ∠ABC: AC² = AB² + BC² - 2*AB*BC*cos(∠ABC)
• ( √2 )² = (2√2)² + (√2)² - 2*(2√2)*(√2)*cos(∠ABC)
• 2 = 8 + 2 - 2*4*2*cos(∠ABC)
• 2 = 10 - 16*cos(∠ABC)
• 16*cos(∠ABC) = 8
• cos(∠ABC) = 8/16 = 1/2
• ∠ABC = 60°
• Для угла ∠CAB: BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos(∠CAB)
• ( √2 )² = (2√2)² + (√2)² - 2*(2√2)*(√2)*cos(∠CAB)
• 2 = 8 + 2 - 16*cos(∠CAB)
• 2 = 10 - 16*cos(∠CAB)
• 16*cos(∠CAB) = 8
• cos(∠CAB) = 8/16 = 1/2
• ∠CAB = 60°
4. Шаг 4: Находим сумму углов.
5. ∠ABC + ∠CAB = 60° + 60° = 120°.

Ответ: 120