1. Найдите предел функции lim 2x²-x-6 x→2 x²-4

Решение:

При подстановке \( x=2 \) в выражение мы получаем неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Используем правило Лопиталя или разложим числитель и знаменатель на множители.

Способ 1: Разложение на множители

1. Разложим числитель: \( 2x^2 - x - 6 \). Корни уравнения \( 2x^2 - x - 6 = 0 \) найдём по дискриминанту: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \). \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{49}}{4} = \frac{1+7}{4} = 2 \), \( x_2 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \). Значит, \( 2x^2 - x - 6 = 2(x-2)(x+\frac{3}{2}) = (x-2)(2x+3) \).
2. Разложим знаменатель: \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).
3. Подставим разложенные выражения в предел: \[ \lim_{x\to2} \frac{(x-2)(2x+3)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to2} \frac{2x+3}{x+2} \]
4. Теперь подставим \( x=2 \): \( \frac{2\cdot2+3}{2+2} = \frac{4+3}{4} = \frac{7}{4} \).

Способ 2: Правило Лопиталя

1. Так как мы получили неопределённость \( \frac{0}{0} \), продифференцируем числитель и знаменатель:
2. Производная числителя: \( (2x^2 - x - 6)' = 4x - 1 \).
3. Производная знаменателя: \( (x^2 - 4)' = 2x \).
4. Подставим производные в предел: \[ \lim_{x\to2} \frac{4x-1}{2x} \]
5. Теперь подставим \( x=2 \): \( \frac{4\cdot2-1}{2\cdot2} = \frac{8-1}{4} = \frac{7}{4} \).

Ответ: \( \frac{7}{4} \).