3. Исследуйте функцию на монотонность и выпуклость: f(x) = x³ - 3x

Решение:

Монотонность

1. Найдём производную функции:

\( f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 \).

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 3x^2 - 3 = 0 \)
\( 3x^2 = 3 \)
\( x^2 = 1 \)
\( x = + 1 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

• На интервале \( (-∞, -1) \) возьмем \( x = -2 \): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (-1, 1) \) возьмем \( x = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (1, +∞) \) возьмем \( x = 2 \): \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.

Выводы по монотонности:

• Функция возрастает на интервалах \( (-∞, -1] \) и \( [1, +∞) \).
• Функция убывает на интервале \( [-1, 1] \).
• Точки \( x = -1 \) и \( x = 1 \) — точки экстремума.

Выпуклость

1. Найдём вторую производную функции:

\( f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x \).

2. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба:

\( 6x = 0 \)
\( x = 0 \).

3. Определим знаки второй производной на интервалах:

• На интервале \( (-∞, 0) \) возьмем \( x = -1 \): \( f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \). Функция выпукла вверх (вогнута).
• На интервале \( (0, +∞) \) возьмем \( x = 1 \): \( f''(1) = 6(1) = 6 > 0 \). Функция выпукла вниз (выпукла).

Выводы по выпуклости:

• Функция выпукла вверх на интервале \( (-∞, 0) \).
• Функция выпукла вниз на интервале \( (0, +∞) \).
• Точка \( x = 0 \) — точка перегиба.

Итого:

• Возрастает на \( (-∞, -1] \) и \( [1, +∞) \).
• Убывает на \( [-1, 1] \).
• Выпукла вверх на \( (-∞, 0) \).
• Выпукла вниз на \( (0, +∞) \).
• Точки экстремума: \( x = -1 \) (максимум), \( x = 1 \) (минимум).
• Точка перегиба: \( x = 0 \).