3. Исследуйте функцию на монотонность и выпуклость: f(x) = x³-3x

Решение:

1. Исследование на монотонность

1. Найдем первую производную: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 3 = 0 \) \( \Rightarrow 3x^2 = 3 \) \( \Rightarrow x^2 = 1 \) \( \Rightarrow x = \pm 1 \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
   • При \( x < -1 \) (например, \( x=-2 \)): \( f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x=0 \)): \( f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 1 \) (например, \( x=2 \)): \( f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \). Функция возрастает.
4. Вывод: функция возрастает на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \), убывает на интервале \( [-1, 1] \).

2. Исследование на выпуклость

1. Найдем вторую производную: \( f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x \).
2. Приравняем вторую производную к нулю, чтобы найти точки перегиба: \( 6x = 0 \) \( \Rightarrow x = 0 \).
3. Определим знаки второй производной на интервалах:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x=-1 \)): \( f''(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \). График выпуклый вверх (вогнутый).
   • При \( x > 0 \) (например, \( x=1 \)): \( f''(1) = 6(1) = 6 > 0 \). График выпуклый вниз (выпуклый).
4. Вывод: функция выпукла вверх на интервале \( (-\infty, 0) \) и выпукла вниз на интервале \( (0, +\infty) \). Точка \( x=0 \) является точкой перегиба.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \), убывает на \( [-1, 1] \). Функция выпукла вверх на \( (-\infty, 0) \), выпукла вниз на \( (0, +\infty) \).