7. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки М, N и Р середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка К лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB; б) PK и BC; в) MN и AB; г) KN и AC.

Решение:

Рассмотрим треугольник DAB. Точки M и N — середины сторон DA и DB соответственно. По теореме о средней линии треугольника, прямая MN параллельна стороне AB и равна её половине.

а) ND и AB

Прямая ND лежит в плоскости ADC (или BDC, если N - середина DB). Прямая AB не пересекает плоскость ADC (так как D не лежит в плоскости ABC, а значит, AD и BD не лежат в плоскости ABC). Поэтому прямые ND и AB или параллельны, или скрещиваются. Без дополнительной информации о положении точек, сложно сказать однозначно. Однако, если рассмотреть плоскость ABD, то MN || AB. Если N — середина DB, то DN — часть DB. Прямая ND не параллельна AB. Если D, N, C — не лежат на одной прямой, и A, B, C — не лежат на одной прямой, то ND и AB скрещивающиеся.

б) PK и BC

Точка P — середина DC, точка K лежит на BN. Невозможно определить взаимное расположение, так как нет достаточной информации о расположении K. Если K — середина BN, и P — середина DC, то PK не параллельно BC.

в) MN и AB

В треугольнике DAB, M — середина DA, N — середина DB. По теореме о средней линии треугольника, прямая MN параллельна прямой AB.

г) KN и AC

Точка K лежит на BN. Точка N — середина DB. Точка A, C — вершины треугольника ABC. Если K — середина BN, то KN не имеет прямого отношения к AC. Если K — произвольная точка на BN, то KN и AC, скорее всего, скрещивающиеся.

Повторное рассмотрение условия:

Дано: Точка D не в плоскости ABC. M, N, P — середины DA, DB, DC. K лежит на BN.

а) ND и AB

N — середина DB. ND — отрезок на прямой DB. Прямая DB и прямая AB лежат в плоскости ABD. Прямые ND (часть DB) и AB скрещиваются, если они не параллельны и не пересекаются. Они не параллельны, так как угол между DB и AB не равен 0 или 180. Они не пересекаются, так как точка пересечения была бы в плоскости ABD, но AB и DB являются сторонами треугольника ABD, и пересекаются только в точке B, которая не принадлежит ND (кроме случая, когда K=B, тогда N=B, что невозможно, если D не лежит в ABC).

б) PK и BC

P — середина DC. K — лежит на BN. Рассмотрим плоскость DBC. В ней P — середина DC. BN — отрезок в этой плоскости. K — точка на BN. Прямая PK и прямая BC. Они не параллельны. Они могут пересекаться. Без информации о K, определить точно сложно. Если K — середина BN, то PK не параллельно BC.

в) MN и AB

В треугольнике DAB, M — середина DA, N — середина DB. Следовательно, MN || AB по теореме о средней линии.

г) KN и AC

K лежит на BN. N — середина DB. AC — сторона треугольника ABC. Прямые KN и AC являются скрещивающимися.

Ответ: а) скрещивающиеся; б) скрещивающиеся; в) параллельны; г) скрещивающиеся.