10. Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй. равна 0,95. Найдите вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика; 2) оба датчика не сработают; 3) сработает хотя бы один из датчиков; 4) хотя бы один из датчиков не сработает.

Решение:

Пусть \( A \) — событие, что первый датчик сработает, а \( B \) — событие, что второй датчик сработает.

Дано:

• \( P(A) = 0.97 \)
• \( P(B) = 0.95 \)

Датчики независимы.

Найдем вероятности противоположных событий:

• Вероятность, что первый датчик НЕ сработает: \( P( A) = 1 - P(A) = 1 - 0.97 = 0.03 \).
• Вероятность, что второй датчик НЕ сработает: \( P( B) = 1 - P(B) = 1 - 0.95 = 0.05 \).

1. Вероятность, что сработают оба датчика:

Так как датчики независимы, вероятность одновременного срабатывания равна произведению их вероятностей:

\[ P(A B) = P(A) P(B) = 0.97 0.95 = 0.9215 \]

2. Вероятность, что оба датчика не сработают:

Аналогично, для несрабатывания:

\[ P( A B) = P( A) P( B) = 0.03 0.05 = 0.0015 \]

3. Вероятность, что сработает хотя бы один из датчиков:

Это событие противоположно событию "оба датчика не сработают".

\[ P(A B) = 1 - P( A B) = 1 - 0.0015 = 0.9985 \]

Или можно посчитать как: \( P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) \) (формула включений-исключений), но это дает вероятность "хотя бы один ИЛИ оба", а нам нужно "хотя бы один".

Правильнее использовать дополнение:

\[ P(\text{хотя бы один сработает}) = 1 - P(\text{ни один не сработает}) = 1 - P( A B) = 1 - 0.0015 = 0.9985 \]

4. Вероятность, что хотя бы один из датчиков не сработает:

Это событие противоположно событию "оба датчика сработают".

\[ P(\text{хотя бы один не сработает}) = 1 - P(A B) = 1 - 0.9215 = 0.0785 \]

Ответ:

1) Вероятность срабатывания обоих датчиков: 0.9215.

2) Вероятность, что оба датчика не сработают: 0.0015.

3) Вероятность, что сработает хотя бы один датчик: 0.9985.

4) Вероятность, что хотя бы один датчик не сработает: 0.0785.