10. Для сигнализации об угоне установлены два независимых датчика. Вероятность того, что при угоне сработает первый датчик, равна 0,97, что сработает второй, равна 0,95. Найдите вероятность того, что при угоне: 1) сработают оба датчика; 2) оба датчика не сработают; 3) сработает хотя бы один из датчиков; 4) хотя бы один из датчиков не сработает.

Решение:

Пусть событие A — сработает первый датчик, событие B — сработает второй датчик.

По условию:

\( P(A) = 0.97 \)

\( P(B) = 0.95 \)

Датчики независимы.

1. Вероятность того, что сработают оба датчика:

Так как события независимы, вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

\( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.97 \cdot 0.95 = 0.9215 \).

2. Вероятность того, что оба датчика не сработают:

Найдем вероятности того, что каждый датчик не сработает:

\( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.97 = 0.03 \)

\( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.95 = 0.05 \)

Так как датчики независимы, вероятность того, что оба не сработают:

\( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0.03 \cdot 0.05 = 0.0015 \).

3. Вероятность того, что сработает хотя бы один из датчиков:

Это событие является противоположным тому, что оба датчика не сработают.

\( P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.0015 = 0.9985 \).

Или можно рассчитать через формулу:

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.97 + 0.95 - 0.9215 = 1.92 - 0.9215 = 0.9985 \).

4. Вероятность того, что хотя бы один из датчиков не сработает:

Это событие является противоположным тому, что оба датчика сработают.

\( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.9215 = 0.0785 \).

Или можно рассчитать через формулу:

\( P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B}) - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.03 + 0.05 - 0.0015 = 0.08 - 0.0015 = 0.0785 \).

Ответ: 1) 0.9215; 2) 0.0015; 3) 0.9985; 4) 0.0785.