5. Докажите формулу медианы m = \(\frac{1}{2}\)√2a² + 2b² - c² в треугольнике со сторонами а, в, с, и углом ф:

Решение:

Пусть дан треугольник ABC со сторонами \( a, b, c \). Пусть \( m_c \) — медиана, проведённая к стороне \( c \). По теореме косинусов для треугольника ABC:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \), где \( \gamma \) — угол между сторонами \( a \) и \( b \).

Медиана \( m_c \) делит сторону \( c \) пополам, то есть на отрезки \( \frac{c}{2} \) и \( \frac{c}{2} \). Рассмотрим треугольник, образованный сторонами \( a \) и \( m_c \) и отрезком \( \frac{c}{2} \). Угол между сторонами \( a \) и \( m_c \) равен \( 180^{\circ} - \gamma \).

По теореме косинусов для этого треугольника:

\( (\frac{c}{2})^2 = a^2 + m_c^2 - 2am_c \cos(180^{\circ} - \gamma) \)

Поскольку \( \cos(180^{\circ} - \gamma) = -\cos(\gamma) \), имеем:

\( \frac{c^2}{4} = a^2 + m_c^2 + 2am_c \cos(\gamma) \) (1)

Из теоремы косинусов для треугольника ABC выразим \( 2ab \cos(\gamma) \):

\( 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2 \)

\( \cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \).

Подставим это выражение в уравнение (1):

\( \frac{c^2}{4} = a^2 + m_c^2 + 2am_c \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) \)

\( \frac{c^2}{4} = a^2 + m_c^2 + \frac{m_c(a^2 + b^2 - c^2)}{b} \)

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим всё на \( b \):

\( \frac{bc^2}{4} = a^2b + bm_c^2 + m_c(a^2 + b^2 - c^2) \)

Это выражение не приводит к нужной формуле. Давайте попробуем другой подход, используя свойство медиан.

Альтернативное доказательство (через векторное произведение):

Пусть векторы сторон \( \vec{AB} = \vec{c} \), \( \vec{AC} = \vec{b} \), \( \vec{BC} = \vec{a} \). Медиана \( \vec{m_c} \) из вершины C к середине стороны AB. Тогда \( \vec{m_c} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{AB} = \vec{c} + \frac{1}{2} \vec{a} \) (если \( \vec{a} \) - вектор от B к C). Или, если \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) — векторы, исходящие из вершины C, то \( \vec{m_c} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \).

Возьмём вершину C как начало координат. Пусть \( \vec{CA} = \mathbf{b} \) и \( \vec{CB} = \mathbf{a} \). Тогда \( \vec{AB} = \mathbf{a} - \mathbf{b} \). Длина \( c = |\mathbf{a} - \mathbf{b}| \).

Вектор медианы \( \vec{m_c} \) из вершины C к середине стороны \( c \) (AB) равен \( \vec{m_c} = \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \).

Найдем квадрат длины медианы: \( m_c^2 = |\vec{m_c}|^2 = \left| \frac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \right|^2 = \frac{1}{4} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{1}{4} (\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b}) \).

\( m_c^2 = \frac{1}{4} (a^2 + b^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \).

По определению скалярного произведения, \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos(\gamma) \), где \( \gamma \) — угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) (то есть угол C треугольника).

\( m_c^2 = \frac{1}{4} (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\gamma)) \).

Из теоремы косинусов для стороны \( c \) в треугольнике ABC: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma) \). Отсюда \( 2ab \cos(\gamma) = a^2 + b^2 - c^2 \).

Подставим это в формулу для \( m_c^2 \):

\( m_c^2 = \frac{1}{4} (a^2 + b^2 + (a^2 + b^2 - c^2)) \)

\( m_c^2 = \frac{1}{4} (2a^2 + 2b^2 - c^2) \)

\( m_c = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Формула доказана.