8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Решение:

Объём воды в первом сосуде равен произведению площади основания на высоту воды:

\( V_1 = S_1 \cdot h_1 \), где \( S_1 \) — площадь основания первой призмы, \( h_1 = 80 \) см.

Пусть \( a_1 \) — сторона основания первой призмы. Так как основание — правильный треугольник, его площадь равна \( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 \).

\( V_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 \cdot 80 \).

Во втором сосуде сторона основания \( a_2 = 4a_1 \). Площадь основания второй призмы:

\( S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} a_2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (4a_1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16a_1^2 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a_1^2 = 16 S_1 \).

Объём воды остаётся прежним: \( V_2 = V_1 \).

Высота воды во втором сосуде \( h_2 \) определяется как:

\( V_2 = S_2 \cdot h_2 \)

\( V_1 = 16 S_1 \cdot h_2 \)

\( S_1 \cdot h_1 = 16 S_1 \cdot h_2 \)

Сократим \( S_1 \) (так как \( S_1 \neq 0 \)):

\( h_1 = 16 h_2 \)

\( h_2 = \frac{h_1}{16} = \frac{80}{16} = 5 \) см.

Ответ: 5 см.