1) Найдите $\sin 2\alpha,\ \cos 2\alpha,\ g 2\alpha,\ \ctg 2\alpha$, если $\sin\alpha=\frac{2}{3},\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1) Найдите $\sin 2\alpha,\ \cos 2\alpha,\ g 2\alpha,\ \ctg 2\alpha$, если \(\sin\alpha=\frac{2}{3},\…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $\alpha$ находится во II четверти, $\cos\alpha<0$. По основному тригонометрическому тождеству:

$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt5}{3}$.

$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac23\cdot\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)=-\frac{2\sqrt5}{9}$.

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac59-\frac49=\frac19$.

$ g 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=-2\sqrt5$, а $\ctg 2\alpha=\frac{1}{ g 2\alpha}=-\frac{\sqrt5}{10}$.

Ответ: $\sin 2\alpha=-\frac{2\sqrt5}{9},\ \cos 2\alpha=\frac19,\ g 2\alpha=-2\sqrt5,\ \ctg 2\alpha=-\frac{\sqrt5}{10}$.

1) Найдите \(\sin 2\alpha,\ \cos 2\alpha,\ g 2\alpha,\ \ctg 2\alpha\), если \(\sin\alpha=\frac{2}{3},\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\).