4) Найдите \(\sin 2\alpha,\ \cos 2\alpha,\ g 2\alpha,\ \ctg 2\alpha\), если \( g\alpha=-\frac35,\ \frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{2}\).

В указанном промежутке отрицательный тангенс возможен во II четверти, поэтому \(\sin\alpha>0\), \(\cos\alpha<0\). Из \( g\alpha=-\frac35\) и тождества \(1+ g^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}\) получаем \(\cos\alpha=-\frac5{\sqrt{34}}\), \(\sin\alpha=\frac3{\sqrt{34}}\).

\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac3{\sqrt{34}}\cdot\left(-\frac5{\sqrt{34}}\right)=-\frac{15}{17}\).

\(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{25}{34}-\frac9{34}=\frac8{17}\).

\( g 2\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=-\frac{15}{8}\), \(\ctg 2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}=-\frac8{15}\).

Ответ: \(\sin 2\alpha=-\frac{15}{17},\ \cos 2\alpha=\frac8{17},\ g 2\alpha=-\frac{15}{8},\ \ctg 2\alpha=-\frac8{15}\).