7) Докажите тождество \(1+ g\alpha g 2\alpha=\frac{1}{\cos 2\alpha}\).

Пусть обе части выражения определены. По формуле тангенса двойного угла:

\(1+ g\alpha g 2\alpha=1+ g\alpha\cdot\frac{2 g\alpha}{1- g^2\alpha}=\frac{1- g^2\alpha+2 g^2\alpha}{1- g^2\alpha}=\frac{1+ g^2\alpha}{1- g^2\alpha}\).

Так как \(\cos 2\alpha=\frac{1- g^2\alpha}{1+ g^2\alpha}\), получаем \(\frac{1+ g^2\alpha}{1- g^2\alpha}=\frac{1}{\cos 2\alpha}\). Следовательно, тождество доказано.