1. Окружность с центром O и радиусом R описана около треугольника ABC. Найдите сторону треугольника, если R=16 см, ∠OAB=30°.

Решение:

В треугольнике OAB, OA = OB = R (радиусы описанной окружности). Следовательно, треугольник OAB равнобедренный.

Угол ∠OAB = 30°, значит, ∠OBA = 30°.

Сумма углов в треугольнике OAB равна 180°, поэтому ∠AOB = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120°.

Сторона BC треугольника ABC является хордой окружности, стягивающей угол ∠AOC. Угол ∠AOB = 120°.

Рассмотрим треугольник AOB. По теореме косинусов:

\( AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 OA OB \cos(\angle AOB) \)

\( AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 16 16 \cos(120^{\circ}) \)

\( AB^2 = 256 + 256 - 2 256 (-\frac{1}{2}) \)

\( AB^2 = 512 + 256 = 768 \)

\( AB = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3} \) см.

Ответ: \( 16\sqrt{3} \) см.