12. В некотором остроугольном треугольнике одна из сторон больше радиуса описанной окружности в \(\sqrt{2}\) раз. Найдите угол, противолежащий данной стороне.

Решение:

Пусть R — радиус описанной окружности, a — длина стороны треугольника, α — угол, противолежащий этой стороне.

По условию, \( a = R\sqrt{2} \).

По теореме синусов:

\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R \)

Подставим выражение для \( a \):

\( \frac{R\sqrt{2}}{\sin(\alpha)} = 2R \)

Разделим обе части на R (так как R — радиус, R \( \neq 0 \)):

\( \frac{\sqrt{2}}{\sin(\alpha)} = 2 \)

\( \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Так как треугольник остроугольный, угол \( \alpha \) должен быть меньше 90°. Угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) и который является острым, равен 45°.

\( \alpha = 45^{\circ} \)

Ответ: 45°.