11. В некотором остроугольном треугольнике радиус описанной окружности равен одной из сторон. Найдите градусную меру угла, противолежащего этой стороне.

Решение:

Пусть R — радиус описанной окружности, а — длина одной из сторон треугольника, α — угол, противолежащий этой стороне.

По теореме синусов для треугольника:

\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R \)

По условию, радиус описанной окружности равен одной из сторон, то есть \( R = a \).

Подставим это в теорему синусов:

\( \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2a \)

Разделим обе части на \( a \) (так как \( a \) — длина стороны, \( a \neq 0 \)):

\( \frac{1}{\sin(\alpha)} = 2 \)

\( \sin(\alpha) = \frac{1}{2} \)

Так как треугольник остроугольный, угол \( \alpha \) должен быть меньше 90°. Угол, синус которого равен \( \frac{1}{2} \) и который является острым, равен 30°.

\( \alpha = 30^{\circ} \)

Ответ: 30°.