10. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10 см, а медиана, проведённая к основанию, 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник, AB = AC = 10 см. Пусть AD — медиана, проведённая к основанию BC. AD = 8 см. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой.

1. Найдем основание BC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB:

\( BD^2 = AB^2 - AD^2 \)

\( BD^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \)

\( BD = \sqrt{36} = 6 \) см.

Так как AD — медиана, то BC = 2 * BD = 2 * 6 = 12 см.

2. Найдем полупериметр (p):

\( p = \frac{AB+AC+BC}{2} = \frac{10+10+12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \) см.

3. Найдем площадь треугольника (S). Так как AD — высота, то:

\( S = \frac{1}{2} BC AD = \frac{1}{2} 12 8 = 48 \) см².

4. Найдем радиус вписанной окружности (r) по формуле \( S = p r \):

\( r = \frac{S}{p} = \frac{48}{16} = 3 \) см.

Ответ: 3 см.