15. Периметр треугольника равен 30 см. Может ли радиус, вписанной в этот треугольник окружности быть равен 5 см.?

Решение:

Периметр треугольника \( P = 30 \) см. Полупериметр \( p = \frac{30}{2} = 15 \) см.

Радиус вписанной окружности \( r = 5 \) см.

Площадь треугольника \( S = p r = 15 5 = 75 \) см².

Теперь проверим, может ли треугольник с периметром 30 см иметь площадь 75 см².

Из неравенства треугольника следует, что сумма любых двух сторон больше третьей. Это означает, что наибольшую площадь при заданном периметре имеет равносторонний треугольник.

Для равностороннего треугольника со стороной \( a \):

Периметр \( P = 3a \).

\( 30 = 3a \) \( \implies a = 10 \) см.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \( a \) равна \( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \).

\( S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \) см².

\( \sqrt{3} \approx 1.732 \).

\( S \approx 25 1.732 = 43.3 \) см².

Максимальная возможная площадь для треугольника с периметром 30 см составляет примерно 43.3 см².

Поскольку требуемая площадь (75 см²) больше максимальной возможной площади (43.3 см²), такой треугольник не существует.

Ответ: Нет, не может.