1.Определение подобных треугольников. Доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников. 2. Трапеция. Основные элементы трапеции. Виды трапеций.

Билет №5

• 1. Определение подобных треугольников: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.
• Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.
• Доказательство: Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия k, т.е. \[ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k \]. Обозначим высоты, опущенные из вершин A и A₁ на стороны BC и B₁C₁, как h и h₁ соответственно. Площади треугольников равны: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \times h \] \[ S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} B_1C_1 \times h_1 \] Отношение площадей: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} BC \times h}{\frac{1}{2} B_1C_1 \times h_1} = \frac{BC}{B_1C_1} \times \frac{h}{h_1} \] Так как треугольники подобны, то отношение высот также равно коэффициенту подобия: \[ \frac{h}{h_1} = k \] Следовательно, \[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = k \times k = k^2 \] Таким образом, отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон.
• 2. Трапеция: Трапеция — это четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны.
• Основные элементы трапеции:
  • Основания: Параллельные стороны трапеции (a и b).
  • Боковые стороны: Непараллельные стороны трапеции (c и d).
  • Высота: Перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямую, содержащую другое основание (h).
• Виды трапеций:
  • Разносторонняя трапеция: боковые стороны и углы при основаниях неравны.
  • Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны, углы при каждом основании равны.
  • Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.